Exercícios sobre as propriedades do polígono regular inscrito

Dado o polígono regular ABCDE inscrito em uma circunferência de raio r, analise as alternativas a seguir e assinale aquela que for correta.

a) Podemos afirmar que exatamente quatro vértices desse polígono também pertencem a essa circunferência.

b) O raio desse polígono também mede r e equivale a todo segmento de reta que parte do centro do polígono e vai até a sua borda.

c) Esse polígono pode ser dividido em cinco triângulos isósceles, caso a divisão seja feita por meio de seus raios.

d) O centro desse polígono não coincide com o centro da circunferência na qual ele está inscrito.

e) Os lados desse polígono podem assumir valores distintos.

Considere um polígono regular qualquer, inscrito em uma circunferência, e assinale a alternativa correta entre as alternativas abaixo.

a) As mediatrizes de três lados distintos jamais se encontrarão em um único ponto.

b) Caso dois polígonos convexos distintos estejam inscritos em circunferências também distintas, mas possuam o mesmo número de lados, então, esses polígonos serão semelhantes.

c) Dois polígonos regulares inscritos, com o mesmo número de lados, não possuem perímetros proporcionais às medidas de seus lados.

d) Os perímetros de dois polígonos regulares inscritos em circunferências distintas e com o mesmo número de lados não são proporcionais aos seus apótemas.

e) Não existe propriedade envolvendo os ângulos centrais formados pelos raios de polígonos regulares inscritos em circunferências.

Um hexágono regular, de lado 10 cm, inscrito em uma circunferência, possui apótema igual a aproximadamente 8,65 cm. Quantos centímetros mede o apótema de um hexágono regular de lado 6 cm, também inscrito em uma circunferência?

a) 4,32 cm

b) 4,89 cm

c) 4,93 cm

d) 5 cm

e) 5,19 cm

Dois polígonos regulares com o mesmo número de lados estão inscritos em circunferências distintas. Um deles tem perímetro igual a 150 cm, e cada um de seus lados mede 15 cm. O segundo deles tem perímetro igual a 280 cm. Quanto mede cada um de seus lados?

a) 28 cm

b) 38 cm

c) 48 cm

d) 58 cm

e) 68 cm

a) Incorreta!
Todos os vértices de um polígono pertencem à circunferência na qual ele está inscrito.

b) Incorreta!
O raio de um polígono inscrito em uma circunferência de raio r também mede r, entretanto, o raio de um polígono é o segmento de reta que vai de seu centro até a circunferência na qual ele está inscrito. Os únicos segmentos que tornam isso possível são os que vão do centro do polígono até os seus vértices.

c) Correto!

d) Incorreto!
O centro de um polígono regular inscrito sempre coincide com o centro da circunferência em que ele está inscrito.

e) Incorreta!
Os lados de um polígono convexo são necessariamente congruentes.

a) Incorreta!
Todas as mediatrizes de um polígono regular inscrito encontram-se em um único ponto: o centro da circunferência que o circunscreve.

b) Correta!

c) Incorreta!
A propriedade afirma justamente o contrário: Dois polígonos regulares inscritos em circunferências distintas, e com o mesmo número de lados, possuem perímetros proporcionais às medidas de seus lados.

d) Incorreta!
Dois polígonos regulares inscritos em circunferências distintas e com o mesmo número de lados possuem seus perímetros proporcionais a seus apótemas.

e) Incorreta!
Se os ângulos internos de um polígono regular inscrito forem determinados pelos raios do polígono, então cada ângulo interno medirá 360°, dividido pelo número de lados do polígono.

A partir do conhecimento da propriedade que afirma que polígonos regulares inscritos em circunferências distintas apresentam seus perímetros proporcionais a seus lados, é possível resolver esse problema. Para isso, basta descobrir as medidas dos perímetros dos polígonos e usar a regra de três para descobrir a medida do apótema.

P₁ = 6·10 = 60 cm
P₂ = 6·6 = 36 cm

P₁ = A₁
P₂    A₂

60 = 8,65
36       x   

60x = 36·8,65
60x = 311,4
x = 311,4
     60

x = 5,19 cm.

Alternativa E.

Existem diversas maneiras de resolver esse exercício. Usando a propriedade envolvendo perímetro e lados dos polígonos regulares inscritos, obtemos:

150 = 15
 280     x  

150x = 15·280

150x = 4200

x = 4200
     150

x = 28

Alternativa A.