Exercícios sobre conjunto dos números reais

Questão 1 – (UFF) Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), “Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem.” Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que:

A) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.

B) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.

C) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional.

D) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional.

E) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo.

Analise as afirmativas sobre os conjuntos numéricos a seguir.

I – Todo número negativo é um número inteiro.

II – Todo número natural é um número real.

III – Um número real pode ser racional ou irracional.

Julgue as afirmativas e encontre a alternativa correta.

A) Somente a I é falsa.

B) Somente a II é falsa.

C) Somente a III é falsa.

D) Somente a II é verdadeira.

E) Somente a III é verdadeira.

Ao realizar uma operação com os números reais, durante a resolução, Tiago encontrou uma divisão entre – 2,5 e 0,5. Sobre o resultado dessa divisão, podemos afirmar que:

A) o resultado é um número natural.

B) o resultado é um número racional, mas não é um número inteiro.

C) o resultado é um número racional e é um número inteiro.

D) o resultado é um número irracional.

E) o resultado é um número real, mas não é um número racional.

(IFG 2019) Os babilônicos talvez tenham usado a fórmula abaixo para obter aproximações interessantes de raízes quadradas de números não quadrados perfeitos.

Atribuindo a = 4/3 e b = 2/9 nessa fórmula, é correto afirmar que obtemos a aproximação:

(UEL) Observe os seguintes números:

I. 2,212121...

II. 3,212223...

III. π/5

IV. 3,1416

V. √- 4

Assinale a alternativa que identifica os números irracionais.

A) I e II.

B) I e IV.

C) II e III.

D) II e V.

E) III e V.

A fração que representa a dízima periódica 2,727272…. é ?

A) 270/999

B) 30/11

C) 80/33

D) 272/99

E) 133/33

Se x = 0,535353… e y = 0,20202020…, a alternativa que representa o resultado de x – y é:

A) 11/99
B) 10/9
C) 11/33
D) 33/90
E) 73/99

Conhecendo dois números pertencentes ao conjunto dos números reais, julgue as afirmativas a seguir.

I – Na multiplicação de dois números reais, a ordem dos fatores não altera o produto.

II – Existe um elemento neutro na adição e na multiplicação de números reais. Esse elemento é o zero para ambas.

III – Todo número real possui um inverso.

Marque a alternativa correta.

A) Somente a afirmativa I é verdadeira.

B) Somente a afirmativa II é verdadeira.

C) Somente a afirmativa III é verdadeira.

D) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

E) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.

Durante a aula de Matemática, a professora pediu aos estudantes que eles listassem números racionais que estejam necessariamente entre os números 8 e 10. Os números escolhidos pelos estudantes foram:

Todos eles acertaram, exceto:

A) Amanda.

B) Bruna.

C) Camila.

D) Daniel.

E) Everaldo.

(Fuvest) Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por:

A) 1/125.
B) 1/8.
C) 8.
D) 12,5.
E) 80.

Os conjuntos numéricos surgiram para atender as necessidades do homem, e a cada etapa foram se desenvolvendo novos conjuntos numéricos. Uma relação importante é a de inclusão. Dizemos que o conjunto A está contido em B quando todos os elementos do conjunto A estão contidos no conjunto B. Sobre os conjuntos numéricos, podemos afirmar que:

A) o conjunto dos números irracionais está contido no conjunto dos números racionais.

B) o conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números racionais.

C) o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números irracionais.

D) o conjunto dos números inteiros está contido tanto no conjunto dos números racionais quanto no conjunto dos números reais.

Sobre o resultado da expressão a seguir, podemos afirmar que:

A) o resultado é um número natural.

B) o resultado é um número inteiro não natural.

C) o resultado é um número racional não inteiro.

D) o resultado é um número real não racional.

Alternativa D.

A) Falsa, pois o produto de dois números irracionais pode gerar como resultado um número real. Por exemplo, o produto de √2 com ele mesmo, ou seja, √2×√2 = 2, é um número natural.

B) Falsa, pois a soma de um número com o seu simétrico, por exemplo, resulta em zero:
 - √3 +√3 = 0.

C) Falsa, pois, entre dois números reais, existem infinitos números irracionais. Por exemplo, entre 3 e 4, existe o número irracional π e o √10.

D) Verdadeira.

E) Falsa, pois nem sempre isso ocorre. Por exemplo, -5 - (-6) = -5 + 6 = 1.

Alternativa A.

• I → Falsa, pois números decimais exatos negativos são racionais, mas não são inteiros. -7,5 é um exemplo de número negativo que não é inteiro.

• II → Verdadeira, pois o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números reais.

• III → Verdadeira, pois o conjunto dos números reais é a união dos racionais com os irracionais.

Alternativa C.

Primeiro calcularemos a divisão:

- 2,5 : 0,5 =  - 5

Analisando as alternativas, sabemos que -5  é um número racional e também é um número inteiro.

Alternativa A.

Substituindo os valores de a e b, temos que:

Dos números acima, são irracionais II e III, pois são números que não podem ser representados como uma fração.

Alternativa B.

Transformando a dízima em fração, é possível perceber que ela é uma dízima periódica simples. Quando isso ocorre, analisamos primeiro o período, que indica a quantidade de “9” que teremos no denominador. Note que há dois algarismos no período “72”, então, pelo método prático, sabemos que o denominador será 99. Já o numerador é 272 – 2 = 270. Sendo assim, a fração que geratriz da dízima será:

Alternativa C.

x – y  = 0,535353… -  0,202020…

Realizando a operação, encontraremos a dízima 0,33333….

Agora, fazendo as divisões, encontraremos 11/33 = 0,3333... como a única alternativa que representa x – y.

Alternativa A.

• I → verdadeira, pois a multiplicação é comutativa, ou seja, a ordem das parcelas não altera o produto.

• II → falsa, pois o elemento neutro da multiplicação é o 1.

• III → falsa, 0 não possui inverso.

Alternativa B.

Dos números listados, todos são racionais, exceto a raiz não exata descrita por Bruna.

Alternativa B.

Vamos reescrever o número como uma fração irredutível:

Alternativa D.

Pela ordem dos conjuntos, sabemos que os naturais estão contidos nos inteiros, que estão contidos nos racionais, que estão contidos nos reais. Analisando cada uma das alternativas, a única que é verdadeira é a D.

Alternativa D.

Resolvendo a expressão, temos que:

Como √3 é um número irracional, então toda a expressão é um número irracional. Analisando as alternativas, podemos afirmar que essa expressão resulta em um número real, mas que não é racional, já que o número real não racional é um número irracional.