Exercícios sobre função composta

Seja f(x) = x² + 2x + 1 e g(x) = – 2x – 1, determine a lei que define f[g(x)] e g[f(x)].

Sejam f e g funções reais tais que f[g(x)] = – 10x – 13 e g(x) = 2x + 3. Determine qual é a lei que define f(x).

(Cefet – PR) Se f(x) = x5 e g(x) = x – 1, a função composta f[g(x)] será igual a:

a) x5 + x – 1

b) x6 – x5

c) x6 – 5x5 + 10x4 – 10x3 + 5x2 – 5x + 1

d) x5 – 5x4 + 10x3 – 10x2 + 5x – 1

e) x5 – 5x4 – 10x3 – 10x2 – 5x – 1

(Acafe – SC) Dadas as funções reais f(x) = 2x – 6 e g(x) = ax + b, se f[g(x)] = 12x + 8, o valor de a + b é:

a) 10

b) 13

c) 12

d) 20

Primeiramente vamos realizar a composição de funções f[g(x)], isto é, na função f(x), substituiremos x pela função g(x):

f(x) = x² + 2x + 1
f[g(x)] = [g(x)]² + 2.[g(x)] + 1
f[g(x)] = [– 2x – 1]² + 2.[– 2x – 1] + 1
f[g(x)] = 4x² + 4x + 1 – 4x – 2 + 1
f[g(x)] = 4x²

Vamos agora realizar o processo contrário. Como agora queremos determinar g[f(x)], onde houver x na função g(x), substituiremos por f(x):

g(x) = – 2x – 1
g[f(x)] = – 2.[f(x)] – 1
g[f(x)] = – 2.[x² + 2x + 1] – 1
g[f(x)] = – 2x² – 4x – 2 – 1
g[f(x)] = – 2x² – 4x – 3

Realizando a composição de funções, encontramos que f[g(x)] = 4x² e g[f(x)] = – 2x² – 4x – 3.

Como f[g(x)] = – 10x – 13 e g(x) = 2x + 3, então f[2x + 3] = – 10x – 13. Fazendo 2x + 3 de y, temos:

2x + 3 = y
2x = y – 3
x = y – 3
      2

Então podemos escrever:

f(y) = – 10.(y – 3) – 13
         2
f(y) = – 5.(y – 3) – 13

f(y) = – 5y + 15 – 13
f(y) = – 5y + 2

Portanto, a função procurada é f(x) = – 5x + 2.

Sendo f(x) = x5 e g(x) = x – 1, vamos realizar a composição de funções f[g(x)], isto é, onde houver x na função f(x), nós substituiremos por g(x) = x – 1:

f(x) = x5
f(g(x)) = [g(x)]5
f(g(x)) = [x – 1]5
f(g(x)) = (x – 1)².(x – 1)².(x – 1)

f(g(x)) = (x² – 2x + 1) . (x² – 2x + 1) . (x – 1)
f(g(x)) = (x4 – 2x³ + x² – 2x³ + 4x² – 2x + x² – 2x + 1) . (x – 1)
f(g(x)) = (x4 – 4x³ + 6x² – 4x + 1) . (x – 1)
f(g(x)) = x5 – 4x4 + 6x³ – 4x² + x – x4 + 4x³ – 6x² + 4x – 1
f(g(x)) = x5 – 5x4 + 10x³ – 10x² + 5x – 1

Portanto, a alternativa correta é a letra d.

Foram dadas as funções f(x) = 2x – 6 e g(x) = ax + b, fazendo a composição de funções f[g(x)], teremos:

f(x) = 2x – 6
f[g(x)] = 2.[g(x)] – 6
f[g(x)] = 2.[ax + b] – 6
f[g(x)] = 2ax + 2b – 6

Mas foi dado que f[g(x)] = 12x + 8, sendo assim, teremos:

12x + 8 = 2ax + 2b – 6

Igualando os coeficientes de x, teremos:

12 x = 2ax
2a = 12
a = 12
      2
a = 6

Vamos agora igualar os termos que não estão acompanhados de x:

8 = 2b – 6
2b = 8 + 6
2b = 14
b = 14
      2
b = 7

Mas como queremos descobrir o valor de a + b, faremos 6 + 7 = 13. Portanto, a alternativa correta é a letra b.