Exercícios sobre os três passos para resolver uma equação do segundo grau

O quadrado de um número somado ao produto desse número por dois é igual a oito. Que número é esse?

a) 36 ou 1

b) – 3

c) 1

d) 2 ou 6

e) 2 ou – 4

Como é chamado um polígono convexo que possui número de diagonais igual a 170?

a) Decágono

b) Hexágono

c) Eneágono

d) Dodecágono

e) Icoságono

O movimento de um projétil lançado a partir do solo, em metros, em local plano é descrito pela função f(x) = – x2 – 16x. Qual é a distância alcançada pelo projétil quando ele cai novamente no solo?

a) 10 m

b) 12 m

c) 14 m

d) 16 m

e) 18 m

A área de um retângulo mede 125 metros. Sabendo que o lado maior desse retângulo mede o quíntuplo do lado menor, qual é a medida, em metros, do lado maior desse retângulo?

a) 25 metros

b) 30 metros

c) 5 metros

d) 15 metros

e) 20 metros

Se o número desconhecido for simbolizado pela letra x, então a equação que representa a situação do problema pode ser a seguinte:

x2 + 2x = 8

Resolvendo essa equação, teremos:

x2 + 2x = 8

x2 + 2x – 8 = 0

a = 1, b = 2 e c = – 8

Δ = b2 – 4·a·c

Δ = 22 – 4·1·(– 8)

Δ = 4 + 32

Δ = 36

x = – b ± √Δ
       2·a

x = – 2 ± √36
       2

x = – 2 ± 6
        2

x’ = – 2 – 6 = – 8 = – 4
   2          2

x’’= – 2 + 6 = 4 = 2
      2        2

O número que cumpre com essas condições é 2 ou – 4.

Alternativa E

Usando a fórmula que relaciona o número de lados e de diagonais dos polígonos convexos, teremos:

D = n(n – 3)
       2

170 = n(n – 3)
          2

170·2 = n(n – 3)

340 = n2 – 3n

0 = n2 – 3n – 340

Encontrando as soluções dessa equação do segundo grau, encontraremos a quantidade de lados que o polígono com 170 diagonais possui.

a = 1, b = – 3 e c = – 340

Δ = b2 – 4·a·c

Δ = (– 3)2 – 4·1·(– 340)

Δ = 9 + 1360

Δ = 1369

n = – b ± √Δ
         2·a

n = – (– 3) ± √1369
          2

n = 3 ± 37
      2

n’ = 3 + 37 = 40 = 20
   2         2

n” = 3 – 37 = – 34 = – 17
            2           2             

Como não é possível que um polígono tenha 17 lados negativos, então esse polígono é um icoságono.

Alternartiva E

Supondo que o solo seja o eixo x do sistema cartesiano que contém esse movimento, as raízes da função serão os pontos de encontro entre o projétil e o solo. Portanto:

f(x) = – x2 – 16x

– x2 – 16x = 0

a = – 1, b = – 16 e c = 0

Δ = b2 – 4·a·c

Δ = (– 16)2 – 4·(– 1)·0

Δ = 256

x = – b ± √Δ
      2·a

x = – (–16) ± √256
           2

x = 16 ± 16
       2

x’ = 16 – 16 = 32 = 16
   2         2

x’’= 16 – 16 = 0 = 0
     2        2

A distância alcançada pelo projétil é de 16 metros.

Alternativa D

Supondo que o lado menor meça x, o lado maior mede 5x. Em um retângulo, a área é o produto do seu lado maior por seu lado menor, que podem ser compreendidos como base e altura. Assim:

5x·x = 125

5x2 – 125 = 0

Dividindo toda a equação por 5, teremos:

x2 – 25 = 0

a = 1, b = 0 e c = – 25

Δ = b2 – 4·a·c

Δ = (0)2 – 4·1·(– 25)

Δ = 100

x = – b ± √Δ
       2·a

x = – 0 ± √100
      2

x = 0 ± 10
     2

x’ = 10 = 5
  2

x’’= – 10 = – 5
  2

O comprimento do lado menor é igual a 5 metros. O lado maior é o quíntuplo disso, portanto, é igual a 25 metros.

Alternativa A