Exercícios sobre raízes de funções do segundo grau

Dada a função y = 9x2 – 8x – 1, determine os valores para os quais y = 0.

O custo de um produto é dado pela função C(x) = x2 – 20x + 36, em que x é a quantidade de produtos produzidos. Qual é a quantidade de produtos que deveria ser produzida para que, conforme essa função, não houvesse custos?

(UNIRG TO/2015) Considere a família de funções do segundo grau, dos reais nos reais, definida como f(x) = x2 + 2x +c, onde c é um parâmetro livre, de modo que para qualquer valor de c escolhido temos uma função particular da família. Ao desenhar várias dessas funções utilizando um software, um aluno percebeu que os vértices dessas funções obedeciam a certo padrão. Assinale a única alternativa correta que corresponde ao padrão visualizado pelo aluno:

a) Uma parábola.

b) Uma reta.

c) Uma semirreta.

d) Uma hipérbole.

(UECE/2015) Um objeto é lançado verticalmente, para cima, de forma que a altura alcançada h, medida em metros, e o tempo decorrido após o lançamento t, medido em segundos, estão relacionados pela equação h – 120t + 5t2 = 0. Considerando h = 0 e t = 0 no instante do lançamento, então o tempo decorrido desde o lançamento até alcançar a altura máxima, e a altura máxima atingida são respectivamente

a) 10 seg e 700 m.

b) 12 seg e 720 m.

c) 12 seg e 800 m.

d) 10 seg e 820 m.

Para encontrar os valores para os quais y = 0, devemos igualar a função a zero e obter suas raízes. Observe:

y = 9x2 – 8x – 1

0 = 9x2 – 8x – 1

Δ = (–8)2 – 4·9·(–1)

Δ = 64 + 36

Δ = 100

x = –(–8) ± √100
             2·9      

x = 8 ± 10
        18   

x' = 8 + 10 = 18 = 1
         18       18      

x” = 8 – 10 = –2 = –1
         18       18     9

Para que não haja custos com esse produto, é necessário que C(x) = 0. A quantidade de produtos produzidos deve ser dada pelas raízes dessa função:

C(x) = x2 – 20x + 36

0 = x2 – 20x + 36

Δ = (–20)2 – 4·1·(36)

Δ = 400 + 144

Δ = 256

x = –(–20) ± √256
       2·1

x = 20 ± 16
      2

x' = 20 + 16 = 36 = 18
  2          2

x” = 20 – 16 = 4 = 2
       2         2  

Caso fosse possível, a produção de 2 ou de 18 desses produtos resultaria em nenhum custo de produção.

f(x) é uma função cujo gráfico representa uma parábola. O coeficiente “c” está ligado à “altura” dessa parábola com relação ao eixo y. Desse modo, variando o valor do coeficiente c, o vértice A da parábola sempre estaria sobre uma reta vertical. Observe a imagem abaixo feita ao variar o valor de c na função f(x):

Movimentação da função f(x) com variação do parâmetro c

Alternativa B.

Primeiro, encontraremos o segundo ponto em que h = 0.

h = – 5t2 + 120t

0 = – 5t2 + 120t

0 = 5t(– t + 24)

logo, t = 0 (condiz com as hipóteses do exercício) ou –t + 24 = 0. Essa última resulta em t = 24. Dessa forma, passam-se 24 segundos para que o objeto alcance o solo novamente. Como o objeto gastou a mesma quantidade de segundos para subir e para descer, então, em 12 segundos, atingiu sua altura máxima. Para encontrá-la, basta substituir t = 12 na função:

h – 120·12 + 5·122 = 0

h – 1440 + 720 = 0

h – 720 = 0

h = 720

Portanto, a altura máxima é 720 metros e o tempo gasto para alcançá-la é 12 segundos.

Alternativa B.