Exercícios sobre trigonometria em um triângulo qualquer

Um triângulo ABC possui os ângulos A = 30° e C = 120°. Além disso, o lado AB desse triângulo mede 100 cm. Qual é a medida do lado AC? (Considere √3 = 1,7).

a) 56,6 cm

b) 66,6 cm

c) 76,6 cm

d) 86,6 cm

e) 96,6 cm

O triângulo ABC, na imagem abaixo, possui o lado AB = 50 cm e o lado CB = 30 cm. Sabendo que o ângulo C = 60°, qual é o seno do ângulo A? (considere √3 = 1,7 e sen31° = 0,51).

a) 30°

b) 31°

c) 32°

d) 33°

e) 34°

Qual o comprimento do lado AC do triângulo a seguir, sabendo que o ângulo C mede 60°, o lado oposto a ele mede 7 metros e o outro lado mede 5 metros.

a) 1 metro

b) 2 metros

c) 3 metros

d) 5 metros

c) 8 metros

Calcule o cosseno do ângulo C no triângulo abaixo com base em suas medidas expostas na figura.

a) 1

b) – 1

c) 2

d) – 2

e) 3

Observe que conhecemos a medida de dois ângulos e de um lado desse triângulo. Como queremos saber a medida de um segundo lado, podemos usar a lei dos senos. O lado que mede 100 cm é oposto ao ângulo de 120°. Já o lado AC é oposto ao ângulo B, que não possui medida. Usando a soma dos ângulos internos de um triângulo, temos:

A + B + C = 180°

30° + 120° + C = 180°

150° + C = 180°

C = 180° – 150°

C = 30°

Seja AC = x, pela lei dos senos, teremos:

     x    =   100   
  sen30°  sen120°

Sabendo que sen120° = sen(180° – 120°) = sen60°, teremos:

    x    =  100  
  sen30°  sen60° 

x·sen60° = 100·sen30°

x·√3 = 100·1
    2           2

x·√3 = 100

x = 100
      √3

Racionalizando:

x = 100√3
      √3√3

x = 100√3
     3

x = 100·1,7
     3

x = 170
      3

x = 56,6 cm

Gabarito: Alternativa A

Seja  = x, o seno do ângulo  pode ser calculado usando a lei dos senos:

  30   =    50  
  senx    sen60°

50·senx = 30·sen60°

50·senx = 30·√3
                    2

50·senx = 15·√3

senx = 15·√3
           50

senx = 3·√3
          10

senx = 3·1,7
          10

senx = 5,1
          10

senx = 0,51

Como sen31° = 0,51, então:

x = 31°

Gabarito: Alternativa B

Para resolver esse problema, basta usar a lei dos cossenos:

72 = 52 + x2 – 2·5·x·cos60°

49 = 25 + x2 – 10x·1/2

49 – 25 = x2 – 5x

24 = x2 – 5x

x2 – 5x – 24 = 0

Usando o método de completar quadrados, observe que metade de b = – 2,5 e que 2,52 = 6,25. Assim:

x2 – 5x – 24 + 6,25 = 0 + 6,25

x2 – 5x + 6,25 = 6,25 + 24

√(x – 2,5)2 = √30,25

x – 2,5 = ± 5,5

x = ± 5,5 + 2,5

x’ = 5,5 + 2,5 = 8

x’’ = – 5,5 + 2,5 = – 3

Como o resultado negativo não pode representar uma medida de comprimento, então a medida do lado AC é igual a 8 metros.

Gabarito: Alternativa E

Para resolver esse problema, basta usar a lei dos cossenos:

102 = 52 + 52 – 2·5·5·cosx

100 = 25 + 25 – 50·cosx

100 – 25 – 25 = – 50·cosx

50 = – 50·cosx

 50 = cosx
– 50             
cosx = – 1

Gabarito: Alternativa B